“爱丽丝之父”是位数学家

小学生阅读2021-01-08 09:53:19
弘扬数学文化,推动数学教育


  • 本文选自《数学文化》第2卷第4期




在世界上,说起文学界里最著名的一位数学家,他的名字大概没有几个人知晓,叫查尔斯•路特维奇• 道奇森(Charles Lutwidge Dodgson)。如果说起数学界里最著名的一位文学家,那倒是声名广播,他就是著名的童话文学作家刘易斯•卡罗尔(Lewis Carroll)。他以《爱丽丝漫游奇境》和《爱丽丝镜中奇遇记》两部童话闻名于世,因此被称作“爱丽丝之父”。


其实,他们是同一个人。查尔斯• 路特维奇•道奇森是他的真实姓名,刘易斯• 卡罗尔是他发表文学作品时的笔名。由于他的文学成就远远超过他在数学方面的建树,所以使得刘易斯• 卡罗尔的名字经久流传,他的本名道奇森反倒默默无闻了。


1卡罗尔生平


卡罗尔于1832 年1 月27 日出生在英格兰柴郡霍尔顿地区的达斯伯里镇(Daresbury, Cheshire,England),此地在世界地理上名气颇大,夏季的麦田里经常惊现奇异的怪圈,天空不时闪现神秘的光球,还会出现磁场紊乱的特异现象。卡罗尔是家里的第一个男孩儿,家里还有两个姐姐和八个弟妹。他的家庭条件优越,父亲在数学方面有一定的造诣,具有大学数学和神学的双学位,是一位德高望重的牧师。母亲善良贤惠,勤俭持家,在卡罗尔眼里,母亲是世界上最温柔可亲的人。他们对孩子的学前教育非常重视,因而卡罗尔儿时一开始是在家里接受父母亲的教育而没进正规学校的。他七岁的时候,就显露出了超人的智慧。他特别喜欢数学和逻辑学的课程,而且能够读大部头的小说。

十二岁那年,他才进入正规的里奇蒙小学(Richmond Grammar School) 读书, 这是一所私立学校,他勤奋好学,学业成绩始终出类拔萃。校长对他父母亲说过:道奇森虽然有些口吃,但是巧言善辩,很有文学天赋,他的拉丁语散文构思精巧,辞藻华丽,他是一个非凡的天才。在1846年他14 岁的时候,转学到公立的拉格比(Rugby School)学校。初到一个陌生的环境,远离家庭,令他郁郁寡欢。本来他就生性腼腆,又患有口吃症,因此经常受到其他同学的欺侮嘲弄,被称为“笨蛋”。这一年,卡罗尔又因为发高烧而导致右耳失聪。他的学业并没有因此受到影响,他的数学老师马耶尔(R. B. Mayor)就曾说:自从我来到拉格比学校后,还从来没有见过比道奇森更有出息的学生。 可惜,他在这所学校却没有获得过数学、阅读和神学这些课程的任何奖励。



刘易斯• 卡罗尔(1832-1898)


1850 年,卡罗尔患上了严重的肺病。他离开拉格比学校,在家里做报考牛津大学的准备。第二年,他如愿以偿考入了牛津大学。父亲想让卡罗尔承继自己的事业,但是,他并不热衷于宗教理论的学习,毕业时只取得了数学学士学位,没能拿到神学学位。数学天赋给他带来过很多荣誉,1852 年,他获得过牛津大学数学考试的一等奖,因此,获得了奖学金。1854 年的考试中,他又取得数学学术考试的第一名,再次获得一等奖的荣誉。1856 年,他毕业不到一年,就被牛津大学聘为基督堂学院图书馆副馆长,同年担任数学讲师。 两年后,他取得了数学硕士学位。刚开始,他对留在基督堂学院工作并不太满意,但是,他还是坚持了下来,在此教授数学二十六年。中年之后,他又患上了偏头疼和癫痫病,身体僵硬,行动起来显得很不协调。病痛的长期折磨使他在49 岁时不得不主动辞去了数学教席的工作。他终身未娶,孤身一人,一直居住在牛津,直到1898 年溘然长逝。


2与爱丽丝的交往


1856 年,牛津大学基督堂学院新任院长利德尔(Henry Liddell)到任,他们一家和卡罗尔很快建立了友谊。在他孩子们的眼里,卡罗尔是一个风趣随和的大帅哥,因为他经常带着爱丽丝三姐妹一起去公园游玩。牛津大学的自然历史博物馆是一座艺术和科学的圣殿,卡罗尔写有诗篇,盛情赞美过这座具有前拉斐尔学派装饰的哥特式建筑。这里也成为他带领爱丽丝姊妹经常光顾的地方。



卡罗尔带爱丽丝姐妹常去的牛津大学自然历史博物馆


卡罗尔还利用自己的专业特长,帮助爱丽丝家的孩子们补习数学功课。他讲授算术加法的一种方式被记载流传了下来,就像变魔术一样,对现在的数学教学也仍有启发性。卡罗尔预先写一个足够大的五位数放进爱丽丝的口袋里,然后在黑板上写一个比它小9999×3 的一个数作为被加数,让爱丽丝三姊妹依次写一个加数,每当一个孩子写完后,卡罗尔就接着也写一个加数,使得其和等于9999。最后让孩子们计算,得到的答案令孩子们感觉很神奇,每次都与爱丽丝口袋里的数相等。由于孩子们不清楚其中的奥秘,所以,她们非常喜欢做这种加法训练。


1862 年7 月4 日的一个下午,从牛津大学附近的 Folly Bridge出发, 在潺湲的泰晤士河上, 卡罗尔与牧师罗宾逊• 达克沃斯(Robinson Duckworth) 一起带着爱丽丝三姐妹泛舟河中。在途中,卡罗尔给她们讲述着动听的故事,让三个美少女听得津津有味。故事讲述了一个叫爱丽丝的小女孩,在追逐一只兔子时掉进了兔子洞。从此,开始了一段惊险的旅行,最后,和扑克牌王后、国王发生冲突,惊出一身冷汗,才从梦中醒来。但凡故事中出现美少女的形象,卡罗尔一定会用他最喜欢的爱丽丝的名字给她命名。


后来,卡罗尔把这个故事扩展润色,写成了一本童话作品《爱丽丝漫游奇境》,在这一年的圣诞节,作为礼物送给了爱丽丝。




卡罗尔一生保持着写日记的习惯,传世的共有十三本,记得非常详细。1856 年,卡罗尔刚刚购买了照相机,在 4 月25 日第一次见到了不满四岁的爱丽丝。6 月3 日这一天给爱丽丝三姊妹拍摄了照片。爱丽丝则成为他长期的摄影模特,因此,爱丽丝那富于想象的自然童稚般的身姿得以长留在人间。



卡罗尔为爱丽丝拍摄的照片


1863 年6 月底,爱丽丝十一岁,她的母亲断然拒绝了卡罗尔的到访,并且将卡罗尔写给爱丽丝的信全部烧毁。卡罗尔6 月27 日至29 日三天的日记也神秘地消失了。从此以后,他的日记不再有与爱丽丝一家联系的记载。原因何在,成为一段令人不解之谜。


1880 年9 月,爱丽丝结婚,卡罗尔没有出席,只是和友人共同给新婚夫妇送去了一幅水彩画。1898 年,六十六岁的卡罗尔因肺炎去世。爱丽丝也没有参加他的葬礼,只是托人代她送了一束鲜花。


3数学生涯


卡罗尔在数学上的研究领域主要是几何学、线性代数和数理逻辑。他发表过很多关于行列式和研究平行公理的数学著作和论文。他为自己起的笔名,都蕴含着逻辑的趣味性,将原名翻译成拉丁文后,查尔斯(Charles)读作卡罗尔斯(Carolus),而路特维奇(Lutwidge)读作刘易斯(Ludovic)。姓名的逻辑反复成就了刘易斯• 卡罗尔的笔名。



卡罗尔漫画像


1868 年, 卡罗尔精心研究了维吉尼亚密码(Vigenère cipher)。这种密码最早是1553 年由意大利数学家贝拉索(Giovan Battista Bellaso)发明的,卡罗尔突破了原来恺撒密码的单一性,扩展出复杂的多表密码,并且引入了“密钥”的概念,极大地增加了密码破译的难度。


其实,卡罗尔在数学理论的创新上乏善可陈,他更热衷于在传播数学方面尽一点绵薄之力,以提高学生学习数学的兴趣。他提出过一种确定某一天是星期几的算法,总结出一个数被不同的数相除的余数规律,甚至根据数学理论发明了一种更加公平的网球比赛规则,设计过一种新的邮政汇票方式。


卡罗尔的《日记》记录了许多数学问题,其中有一道很是著名:一根绳子穿过一个定滑轮,其一端挂着10 磅重的砝码,另一端挂着10 磅重的一只猴子。当猴子向上爬的时候,砝码将怎样运动?卡罗尔同时还记录了许多数学家给出的截然不同的答案。看来这个问题并不是什么人都能回答对的。


卡罗尔的《日记》里还有一个关于两座钟表的逻辑问题:有两座钟表,一座每天慢一分钟,另一座停摆不动,问哪一座报时更为准确?卡罗尔指出,那座一天慢1 分的钟表,要在慢了12 个小时后才准时一次,这需要720 天的时间,即每两年才准确报时一次。而停摆的那一座的钟表,每天可以准确报时两次,显然,停摆钟表的报时相比较而言要准确一些。接着,他以爱丽丝的口吻提出了一个数学悖论:当钟表指针停在8 点时,每到8 点的时候,停摆的钟表确实是对的,可是,我们怎么就知道什么时侯正好就是8 点呢?卡罗尔诙谐地对爱丽丝说道:哦,那很容易解决。你只要手握一支枪,站在停摆的钟表旁边,死死盯着它,当另外一个准确的钟表指针恰好对准8 点的时刻,你立即开枪,听到枪响的人全都知道这时一定是8 点整了。


4《爱丽丝漫游奇境》背后的故事


1865 年7 月4 日,《爱丽丝漫游奇境》正式出版,在英国迅速传播开来,获得了巨大的成功,著名画家约翰• 泰尼尔为其绘制的插画也成为美术经典。卡罗尔特意将小羊皮精装本的首印本赠送给爱丽丝,另外,也赠送了一本给同名的维多利亚女王的女儿爱丽丝公主。维多利亚女王先睹为快,略生醋意,指定卡罗尔要把他的下一部作品题辞赠送给她本人。有好事者杜撰,卡罗尔遂将其后写成的一本数学著作《行列式基础》送给了女王,卡罗尔专门为此辟谣。


《爱丽丝漫游奇境》是英国魔幻文学的奠基之作,首开以怪异奇幻方式构思儿童小说之先河。这部充满哲理和超越时代感的童话突破了传统儿童文学作品中的道德说教模式,注入了许多以前文学作品中不曾出现过的清新元素,如充满智慧的双关语和数学逻辑游戏,辩论技巧和名言改编,反映英国维多利亚时期社会生活的笑话与典故等等,想象奇诡,风趣幽默,语言婉约自然,惟妙惟肖地塑造了各种典型人物。


卡罗尔一生充满童真,彰显着游戏精神。他不仅在学术和写作领域里玩数字和逻辑、玩文字双关语、玩改编诗句、玩摄影,甚至当时社会上流行的游戏,他也能玩出花样,玩成极致。诸如木偶戏、魔术、国际象棋和西洋双陆棋、槌球和台球等等,他没有一样不精通。在《爱丽丝漫游奇境》中,卡罗尔充分展示了自己的游戏精神,运用戏剧的手法,将典型人物塑造成各类角色:怨天尤人、喜怒无常的螃蟹,免开尊口、惜字如金的牡蛎,自寻没趣、饶舌烦人的喜鹊,带有爱尔兰腔调的佣人派德等等。


口吃的毛病一直困扰着卡罗尔,对此他经常用自嘲的方式来表现自己的乐观精神。在《爱丽丝漫游奇境》中,他就把自己姓名中的道奇森(Dodgson)改写成“Dodo—Dodgson”, 就是那只发音不清楚的渡渡鸟。渡渡鸟原产于印度洋毛里求斯岛,体格硕大,不能飞翔,在十七世纪就已经灭绝了。他描写渡渡鸟喜欢“用莎士比亚的姿势思考问题”,当然就是对他自己的赞誉。塑造渡渡鸟形象的灵感出自卡罗尔经常光顾的牛津大学的自然历史博物馆,里面有一幅动物学家乔治• 爱德华(George Edwards) 绘制的渡渡鸟画像,体型笨拙,憨态可掬。



动物学家根据遗骨所绘制的渡渡鸟画像


《爱丽丝漫游奇境》很快就风靡了全世界,被翻译成德语、法语、瑞士语、意大利语、丹麦语、俄语等100 多种文字。据说,世界上被英语文献引用次数最多的三部作品就是《圣经》,莎士比亚的戏剧和《爱丽丝漫游奇境》。


中国在上个世纪二十年代,由语言大师赵元任翻译成汉语,介绍给中国的小读者。1871 年,卡罗尔创作的姊妹篇《爱丽丝镜中奇遇记》也正式出版。爱丽丝的故事在世界各地被无数次地改编成戏剧、电影、电视剧、哑剧和动画片等艺术形式,成为世界上最受欢迎的儿童文学作品之一。


在《爱丽丝镜中奇遇记》中,有一个白骑士的典型形象,活灵活现,就像唐吉诃德的化身。白骑士总是爱好在公众面前展示自己的天才发明,很快又会陷入发明物露出缺陷的尴尬之中。塑造这个形象也表现了卡罗尔的一种自嘲,因为卡罗尔本人平时也喜欢捣鼓一些小发明,很多都有实际的应用价值,比如便于旅行中携带的国际象棋,可以在黑暗中书写的写字板,三轮车转向装置,双面胶和改进打字机等等。


《爱丽丝漫游奇境》让卡罗尔的名字迅速传遍了世界。英国、美国、日本、新西兰、澳大利亚和加拿大等国都成立了“卡罗尔协会”,专门研究卡罗尔的作品。甚至在宇宙物理学领域,法国物理学家列维- 莱布龙德用卡罗尔的名字命名了卡罗尔宇宙的概念,使他的名字和伟大的牛顿、爱因斯坦并列,按人类认识顺序依次被称为卡罗尔宇宙、牛顿宇宙和爱因斯坦宇宙。远古的人们认为空间是有限的,是固定不变的,时间是流失的,是相对的。每个部落就是一个与世隔绝自给自足的小世界,人的生命有限,行动半径狭小,人类对宇宙的认识尚处于幼稚阶段,所以,科学家自然想到用卡罗尔的名字来命名。在牛顿宇宙中,人们认识到空间是无限的,是相对的,而时间是确定的,是绝对的。当我们进入了爱因斯坦宇宙,才揭示出时间没有始终,空间有不同的存在形式。


年轻的卡罗尔多才多艺,兴趣广泛。1856 年,他第一次用“刘易斯• 卡罗尔”的笔名发表了诗歌《寂寞》,诗的开头这样写道:“我爱宁静的森林,我爱小溪那潺潺流水声”。


卡罗尔平生爱好摄影,与英国的摄影先驱卡梅隆(Julia Cameron)是好朋友,他们经常在一起切磋摄影方面的问题,共同参加了很多摄影活动。卡罗尔受聘牛津大学基督堂学院的第二年就购买了一套价格不菲的摄影器材,他后来为了在他居住的屋顶上建造一座玻璃摄影棚,与当时任学院院长的爱丽丝的父亲还发生过争执,最后校方还是同意了他的做法。


卡罗尔的人际社交圈主要是上流社会, 他天生具备娱乐精神, 虽然口吃, 但他很会讲幽默故事,喜欢唱歌, 并不惧怕在别人面前讲话。因此, 他给许多当时的社会名流拍摄过艺术照片, 其中包括著名的油画家亨特(William Halman Hunt) 和米莱(John Everett Millais),伟大的物理学家法拉第(Michael Faraday),著名的诗人丁尼生(Alfred Tennyson)和罗塞蒂(Dante Gabriel Rossetti),还有英国的利奥波德王子(Prince Leopold of the United Kingdom)。卡罗尔一生共发表了一百多张艺术照片,最终成为了一位具有突出成就的艺术摄影家。


4用数学眼光解读卡罗尔童话世界


读过爱丽丝系列童话的人数以亿计,按照个人的理解,他们各自读出了不同的主题。爱丽丝的典型形象里折射着卡罗尔的影子,友好善良、好奇质疑、傲慢幽默、善于反省、思想自由、蔑视权威。卡罗尔利用纯洁的童话形式,使得荒诞情节在表面平静的世界里折射出了复杂的现实。因此,大家各自读出了对英国维多利亚时期名人的戏谑和嘲讽,读出了儿童眼睛里看到的成人的行为举止,读出了卡罗尔的宗教信仰和对超自然现象的迷恋,读出了卡罗尔对传统数学的敬意和对数学领域最新进展的不理解和讽喻。


从数学角度解读卡罗尔的研究者和读者认为,卡罗尔生活在19 世纪中叶以后,现代数学飞速发展,形成了形式化和抽象化的特点。非欧几何、抽象代数和拓扑学的兴起,让人们认识到数学既是对客观现实的抽象,也是人类思维的自由创造。作为一位传统保守的数学家,卡罗尔对数学的认识,还不能彻底摆脱几何和物理的直观,对数学新成果就带有不理解的情绪,认为它们虽然逻辑严密,但是并不合于实际的几何空间和客观的物理现实。所以,他采用数学意象和数学元素构思的很多童话情节都带有荒诞和负面的影子。


爱丽丝从现实世界来到一个奇诡的空间,她试图要表现对乘法表的亲近时,发现它们并不是自己熟悉的阿拉伯数字系统。卡罗尔认为,既然数学里可以有类似虚数这样的东西存在,那么,现实世界里也就可能发生任何荒诞和诡谲的事情。


射影几何和拓扑学里有连续变换原理,是说一个物体在连续地变换成另一种物体时,它的基本特征(不变量)不会改变。只有笑容没有脸的柴郡猫是最具有数学意味的形象。当爱丽丝把公爵夫人的小孩抱出房间,孩子变成了一只小猪。柴郡猫说:“我本来料到他会这样的。”这不就是卡罗尔在试图表现的不变量的意象吗?


爱丽丝在欧氏空间的身体可以任意伸缩。吃不同的两种蘑菇,她的躯干和脖子的伸缩速率必须一致,才能保持体型的匀称优美。但是,在缩小的过程中,致使她的下颌与脚趾贴到了一起,无法张嘴吃到蘑菇把自己变回去。此时,毛毛虫扮演了不变量的意象,让爱丽丝不要生气(Don't lose temper)。Temper(脾气)在数学上指物体之间的比例关系,意在提醒爱丽丝在变化中不要失去了比例。



吃蘑菇变化中的爱丽丝


1843 年,爱尔兰数学家哈密尔顿(William Rowan Hamilton)提出了“四元数”的概念。他在研究这个问题时,首先试图构造三维复数,结果发现没有可能,因此,才触发了构造四元数的灵感。哈密尔顿为了给“四元数”一个直观的几何意义,在三维欧氏空间的基础上,规定了一个时间的维度。


卡罗尔利用“四元数”构思了一个茶会的场景。茶会上,代表“三维”的帽匠、三月兔和睡鼠边喝着下午茶,边围着圆桌循环挪动位置, 而时间却静止在3 点钟。帽匠对爱丽丝说,他和时间吵架了,时间赌气,什么事都不干了。这恰好反映了哈密尔顿在研究“四元数”的过程中,陷入了创设三维复数的臆想。帽匠和三月兔试图把睡鼠塞进茶壶里的情节,隐喻着卡罗尔对传统数学的钟爱,消除掉一个参数,回归到复数的状态,让几何空间重新恢复直观的欧几里得体系。




《爱丽丝漫游奇境》中的那只鸽子,用错误的逻辑推理得出爱丽丝是一条蛇的结论。它的逻辑是:小姑娘吃蛋,蛇也吃蛋,所以小姑娘是蛇。这是一个典型的三段论逻辑错误。《爱丽丝镜中奇遇记》中,白骑士要唱一首安慰爱丽丝的歌,当爱丽丝问起歌名时,白骑士一口气说了这首歌在不同情况下的四个歌名:这首歌是“在大门上坐坐”,它被称为“路径和方法”,它的名字是“特老的老人”,它还有一个名字是“黑线鳕的眼睛”。这可以理解为是卡罗尔在以白骑士的化身形象向儿童读者们展示事物的实体、事物的概念和事物的名称之间是如何可以完全不同。



白骑士与爱丽丝




作者简介

蔡旭(左图),新疆兵团第二师华山中学高中数学教师。毕业于陕西师范大学数学与应用数学专业,目前为陕西师范大学教育学在读硕士。


张小平,河南大学数学教育专业毕业,现为新疆兵团第二师华山中学高级教师。


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